微分積分例

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

ステップ 1

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ を $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ に書き換えます。

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

ステップ 2.2

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ を展開します。

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3.5

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

ステップ 3.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

ステップ 3.7

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

ステップ 3.8

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

ステップ 3.9

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

ステップ 4.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

対数の法則を利用して指数の外に $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ を移動します。

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.3

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.4.2

$8$ に $0$ をかけます。

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

ステップ 5.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

ステップ 5.7

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

ステップ 5.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 \ln (e)$

ステップ 5.9

$e$ の自然対数は $1$ です。

$0 \cdot 1$

ステップ 5.10

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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