微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

ステップ 1.1.2

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\arctan (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

ステップ 1.1.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\arcsin (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\arcsin (0)}$

ステップ 1.1.3.2

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

ステップ 1.3.3

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

ステップ 1.3.4

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ と $\sqrt{1 - x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

ステップ 2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

ステップ 2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 2.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 2.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{0^{2} + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sqrt{1 - 0}}{0^{2} + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{0^{2} + 1}$

ステップ 4.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1}}{0^{2} + 1}$

ステップ 4.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{0^{2} + 1}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{0 + 1}$

ステップ 4.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.3

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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