微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - 1 - 4 x}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1 - 4 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - 1 - 4 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1 - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1 - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $e^{4 x} - 1 - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + 0 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + 0 - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$4 e^{4 x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 4}{2 x}$

ステップ 1.4

$4 e^{4 x} - 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $4 e^{4 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{4 x}) - 4}{2 x}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{4 x}) + 2 \cdot - 2}{2 x}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (2 e^{4 x}) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{4 x} - 2)}{2 x}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{4 x} - 2)}{2 (x)}$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{4 x} - 2)}{2 x}$

ステップ 1.4.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{4 x} - 2}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{4 x} - 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{4 x} - 2}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{4 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{4 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 e^{4 x} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{4 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.7

$4$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{4 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$8 e^{4 x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{4 x}}{1}$

ステップ 2.4

$8 e^{4 x}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 8 e^{4 x}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 lim_{x \to 0} e^{4 x}$

ステップ 3.2

指数に極限を移動させます。

$8 e^{lim_{x \to 0} 4 x}$

ステップ 3.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 e^{4 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 e^{4 \cdot 0}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$4$ に $0$ をかけます。

$8 e^{0}$

ステップ 5.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 \cdot 1$

ステップ 5.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

微分積分 例

微分積分例