微分積分例

$lim_{x \to 8} (\sqrt{9 x^{4} + 8}) - 3 x^{2} - \frac{3}{x^{4}} + 3$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 4

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 9

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 10

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 11

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

ステップ 13

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

ステップ 14

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 14.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

ステップ 14.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

ステップ 14.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15

答えを簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$8$ を $4$ 乗します。

$\sqrt{9 \cdot 4096 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.2

$9$ に $4096$ をかけます。

$\sqrt{36864 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.3

$36864$ と $8$ をたし算します。

$\sqrt{36872} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.4

$36872$ を $2^{2} \cdot 9218$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.4.1

$4$ を $36872$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (9218)} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.6

$8$ を $2$ 乗します。

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 64 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.7

$- 3$ に $64$ をかけます。

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

ステップ 15.1.8

$8$ を $4$ 乗します。

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 (\frac{1}{4096}) + 3$

ステップ 15.1.9

$- 3$ と $\frac{1}{4096}$ をまとめます。

$2 \sqrt{9218} - 192 + \frac{- 3}{4096} + 3$

ステップ 15.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$2 \sqrt{9218} - 192 - \frac{3}{4096} + 3$

ステップ 15.2

$- 192$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4096}{4096}$ を掛けます。

$2 \sqrt{9218} - 192 \cdot \frac{4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

ステップ 15.3

$- 192$ と $\frac{4096}{4096}$ をまとめます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096 - 3}{4096} + 3$

ステップ 15.5

分子を簡約します。

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ステップ 15.5.1

$- 192$ に $4096$ をかけます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786432 - 3}{4096} + 3$

ステップ 15.5.2

$- 786432$ から $3$ を引きます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435}{4096} + 3$

ステップ 15.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3$

ステップ 15.7

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4096}{4096}$ を掛けます。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3 \cdot \frac{4096}{4096}$

ステップ 15.8

$3$ と $\frac{4096}{4096}$ をまとめます。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + \frac{3 \cdot 4096}{4096}$

ステップ 15.9

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 3 \cdot 4096}{4096}$

ステップ 15.10

分子を簡約します。

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ステップ 15.10.1

$3$ に $4096$ をかけます。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 12288}{4096}$

ステップ 15.10.2

$- 786435$ と $12288$ をたし算します。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 774147}{4096}$

ステップ 15.11

分数の前に負数を移動させます。

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

10進法形式：

$3.02009978 \dots$

微分積分 例

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