微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

ステップ 1.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

正弦と余弦に関して $\sec (2 \cdot 0)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

ステップ 9.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ で割ります。

$1 \cos (2 \cdot 0)$

ステップ 9.3

$\cos (2 \cdot 0)$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 \cdot 0)$

ステップ 9.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 9.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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