微分積分例

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

ステップ 3

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 6

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 6.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$π$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

ステップ 7.2

$\sin (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 7.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 7.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

ステップ 7.2.3

正弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 7.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 7.2.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 7.2.4.5

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.4.5.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.2.4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

ステップ 7.2.4.6

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 7.2.4.7

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.4.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 7.2.4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 7.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 7.3.3

式を書き換えます。

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

10進法形式：

$3.06146745 \dots$

微分積分 例

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