微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} - \frac{1}{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{\ln (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\ln (x + 1) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\ln (x + 1)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

ステップ 1.3.3

$\ln (x + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1)} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - \ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0 - \ln (1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.6.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.6.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 2.1.3.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 2.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 2.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1)}$

ステップ 2.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1)}$

ステップ 2.1.3.6.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.6.3

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - \ln (x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.4.7

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.5

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - 1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.5.3

$1$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 0}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.5.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

ステップ 2.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{x + 1}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.13

$\frac{x}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1}$

ステップ 2.3.15

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)}$

ステップ 2.3.16

$\ln (x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 2.3.17

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 2.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.1.1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1}{x + 1}}$

ステップ 2.3.18.1.1.2

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 2.3.18.1.2

$x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x \ln (x + 1) + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 2.3.18.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

ステップ 2.5

$\frac{x}{x + 1}$ に $\frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

ステップ 2.6

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

ステップ 3.1.3.6

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.7

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

ステップ 3.1.3.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.9.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.1.3.9.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

ステップ 3.1.3.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.10.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

ステップ 3.1.3.10.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

ステップ 3.1.3.10.1.3

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

ステップ 3.1.3.10.1.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (1)}$

ステップ 3.1.3.10.1.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

ステップ 3.1.3.10.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 3.1.3.10.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.10.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.11

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.8

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.9

$x$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.10

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.11

$\ln (x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.4.12

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 3.3.6

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.6.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.6.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.6.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.3.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.3.6.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

ステップ 3.3.6.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.6

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1) + x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.1.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.2.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 + 2 x + 2}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2.2

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2.3

因数分解した形で $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2$ を書き換えます。

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ステップ 3.3.7.2.3.1

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x \ln (x + 1) + 2 x + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.7.2.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x \ln (x + 1) + 2 x) + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x (\ln (x + 1) + 2) + 1 (\ln (x + 1) + 2)}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.2.3.3

最大公約数 $\ln (x + 1) + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.3

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.3.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.3.7.3.2

$\ln (x + 1) + 2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1) + 2}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.4

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (0 + 1) + 2}$

ステップ 6

分母を簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\ln (1) + 2}$

ステップ 6.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1}{0 + 2}$

ステップ 6.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例