微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (2 x)} + \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 1.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$5 \frac{0}{\sin (0)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 (\frac{0}{0}) + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$5 (\frac{0}{0}) + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$5 (\frac{0}{0}) + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$5 (\frac{0}{0}) + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.7

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$5 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{4 x}$

ステップ 3.6

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{x}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (6 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.1.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$6$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (6 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x$ とします。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \cdot 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (6 x) \cdot 6}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.6

$6$ を $\sec^{2} (6 x)$ の左に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot \sec^{2} (6 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 x)}{1}$

ステップ 4.4

$6 \sec^{2} (6 x)$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (6 x)$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)$

ステップ 5.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (6 x)$ から極限値外側に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}$

ステップ 5.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)$

ステップ 5.4

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\cos (0)} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.4

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 6 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.5.4

式を書き換えます。

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.6

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \sec^{2} (6 \cdot 0)$

ステップ 7.1.7

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \sec^{2} (0)$

ステップ 7.1.8

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 7.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 7.1.10

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 + 3}{2}$

ステップ 7.3

$5$ と $3$ をたし算します。

$\frac{8}{2}$

ステップ 7.4

$8$ を $2$ で割ります。

$4$

微分積分 例

微分積分例