微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + \frac{2}{1 - \cos (x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

ステップ 1.2

$\frac{5}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

ステップ 1.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

分子が正で、分母 $1 - \cos (x)$ が0に近づき、両側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は境界なく増加します。

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + \infty$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5}{3} \sin (0) + \infty$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{5}{3} \cdot 0 + \infty$

ステップ 4.1.2

$\frac{5}{3}$ に $0$ をかけます。

$0 + \infty$

ステップ 4.2

$0$ と $\infty$ をたし算します。

$\infty$

微分積分 例