微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

ステップ 6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

ステップ 7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 8.3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 9.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 9.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 9.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 9.2.4

因数分解した形で $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 9.2.4.1

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 9.2.4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.2.4.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ を約分します。

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ステップ 9.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 9.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

ステップ 9.2.4.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.3

$0$ を $\sqrt{2}$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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