微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (5 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\tan (4 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

ステップ 1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ を $\tan (4 x)$ に変換します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

ステップ 1.4.2

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ を $\cot (5 x)$ に変換します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

ステップ 3

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

ステップ 4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

ステップ 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

ステップ 6

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

ステップ 7

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

ステップ 7.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8.1.2

共通因数を約分します。

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8.1.3

式を書き換えます。

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

ステップ 8.4

$5$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

ステップ 8.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 8.6

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cdot 0$

ステップ 8.7

$0$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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