微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.1.2

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

ステップ 2.1.3.3

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\csc (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$- \csc (x) \cot (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.5.2

$- \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.6

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

ステップ 2.4

約分します。

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ステップ 2.4.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2

$\csc (x)$ と $\csc^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$\csc (x)$ を $\cot (x) \csc (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\csc (x)$ を $\csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

ステップ 2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

ステップ 2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

ステップ 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

ステップ 3.3

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

ステップ 5.2

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

ステップ 5.3

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 5.4

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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