微分積分例

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$ を $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$

ステップ 1.2

$x + 3$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{(x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} (x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} x + 3 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2.5

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x - 1})}$

ステップ 2.6

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

ステップ 2.7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

ステップ 2.8

$x$ が $8$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

ステップ 2.9

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

ステップ 2.10

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

ステップ 3.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$8$ と $3$ をたし算します。

$e^{11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

ステップ 4.2

対数の中の $11$ を移動させて $11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11})}$

ステップ 4.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

${(\frac{8 - 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

ステップ 4.4.2

$8$ から $4$ を引きます。

${(\frac{4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

ステップ 4.5

分母を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(\frac{4}{8 - 1})}^{11}$

ステップ 4.5.2

$8$ から $1$ を引きます。

${(\frac{4}{7})}^{11}$

ステップ 4.6

積の法則を $\frac{4}{7}$ に当てはめます。

$\frac{4^{11}}{7^{11}}$

ステップ 4.7

$4$ を $11$ 乗します。

$\frac{4194304}{7^{11}}$

ステップ 4.8

$7$ を $11$ 乗します。

$\frac{4194304}{1977326743}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4194304}{1977326743}$

10進法形式：

$0.00212119 \dots$

微分積分 例

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