微分積分例

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$

ステップ 1

$x$ が $\frac{3}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

ステップ 7

$x$ が $\frac{3}{2}$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{3}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{3}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{3}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

ステップ 8.3

$x$ を $\frac{3}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.2.1

$2$ を $2^{3}$ で因数分解します。

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3^{3}}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.8

$- 3 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

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ステップ 9.1.8.1

$- 3$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.8.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 9.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.10.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 2$

ステップ 9.1.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 2$

ステップ 9.1.10.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 2$

ステップ 9.1.11

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 2$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

$- 6 + 2 + \frac{27 - 27}{4}$

ステップ 9.3

$27$ から $27$ を引きます。

$- 6 + 2 + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4

公分母を求めます。

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ステップ 9.4.1

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 6}{1} + 2 + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4.2

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4.3

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4.4

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4.5

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

ステップ 9.4.6

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

ステップ 9.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 9.6

各項を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 24 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 9.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 24 + 8}{4}$

ステップ 9.7

$- 24$ と $8$ をたし算します。

$\frac{- 16}{4}$

ステップ 9.8

$- 16$ を $4$ で割ります。

$- 4$

微分積分 例

微分積分例