微分積分例

$lim_{x \to \infty} 4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}) (4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6})}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{2} + 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - {\sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}^{2}}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

ステップ 2.2

簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 6}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.1.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$16$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 6.6

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

ステップ 8

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{5 + 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

ステップ 10.1.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 6 \cdot 0}}$

ステップ 10.2.2

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 0}}$

ステップ 10.2.3

$16 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0}}$

ステップ 10.2.4

$16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{4 + \sqrt{16}}$

ステップ 10.2.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4 + \sqrt{4^{2}}}$

ステップ 10.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5}{4 + 4}$

ステップ 10.2.7

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{5}{8}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{8}$

10進法形式：

$0.625$

微分積分 例

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