微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.7

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.9

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.10

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.10.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.10.3

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.4.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0 \cdot (6 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.4.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{0 \cdot (2 (3) \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.4.4

式を書き換えます。

$\frac{0 \cdot (3 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.5

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.4.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{3 + 1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.6

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{4}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.7

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{0 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.8

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.2.11.9

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 2.1.3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 2.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 2.1.3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 2.1.3.5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

ステップ 2.1.3.6

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

ステップ 2.1.3.6.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1.5.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 1}$

ステップ 2.1.3.7.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

ステップ 2.1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 2.1.3.7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = \frac{2 x - 1}{2}$ および $g (x) = 6 x^{2} + x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 2] + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.4

総和則では、 $6 x^{2} + x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.7

$2$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.9

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + 0) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.10

$12 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x - 1}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.12

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.13

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.15

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.16

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.17

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.18

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.19

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.19.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.19.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.20

$6 x^{2} + x - 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x) + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.2.1

$12$ と $\frac{2 x - 1}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1)}{2} x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.2

$\frac{12 (2 x - 1)}{2}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.3

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.2.3.1

$2$ を $12 (2 x - 1) x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 (1)} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 \cdot 1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.3.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x}{1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.3.2.4

$6 (2 x - 1) x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.4

$\frac{2 x - 1}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.5

$6 (2 x - 1) x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.6

$6 (2 x - 1) x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.7

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2 + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.8

$2$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.9

$6 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.10

$6 x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.11

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.12

$2$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.13

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.14

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.15

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.16

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + 2 \cdot x}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.17

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.18

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.19

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.20

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.21

$- 2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.2.22

$- 1$ から $4$ を引きます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x + 12 x^{2} - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.3

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x - 1) + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.3

$- 1$ に $12$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.4.1.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 (x \cdot x) - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.4.2

$12$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 24 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.5

$12 x^{2}$ と $24 x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.6

$- 12 x$ と $4 x$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 36 \cdot - 5 = - 180$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.7.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 (x) - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7.1.2

$- 8$ を $10$ プラス $- 18$ に書き換える

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + (10 - 18) x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7.1.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + 10 x - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.4.7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(36 x^{2} + 10 x) - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x (18 x + 5) - (18 x + 5)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.21.4.7.3

最大公約数 $18 x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

ステップ 2.3.22

総和則では、 $4 x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.23

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.23.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.23.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.23.3

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.24

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.24.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.24.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.24.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 2.3.25

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + 0}$

ステップ 2.3.26

$8 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2} \cdot \frac{1}{8 x - 4}$

ステップ 2.5

$\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}$ に $\frac{1}{8 x - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2 (8 x - 4)}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} (18 x + 5) (2 x - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + 5 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.3

$18$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.4

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.7

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.8

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.8.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.1.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 (9) \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot 9 \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.2

$9$ と $5$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.2.9.5

$14$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

ステップ 4.1.3.1.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

ステップ 4.1.3.1.3

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 (4) \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.3.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 4}$

ステップ 4.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = 18 x + 5$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.3

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.9

$2$ を $18 x + 5$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (18 x + 5) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.10

総和則では、 $18 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.11

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.13

$18$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.14

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + 0)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.15

$18$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.16

$18$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + 18 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.3.1

$18$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3.4

$18$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3.5

$36 x$ と $36 x$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x + 10 - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.17.3.6

$10$ から $18$ を引きます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

ステップ 4.3.18

総和則では、 $8 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.19

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.19.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.19.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.20

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + 0}$

ステップ 4.3.21

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8}$

ステップ 4.4

$72 x - 8$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$8$ を $72 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x - 8}{8}$

ステップ 4.4.2

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x + 8 \cdot - 1}{8}$

ステップ 4.4.3

$8$ を $8 (9 x) + 8 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8}$

ステップ 4.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 (1)}$

ステップ 4.4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 \cdot 1}$

ステップ 4.4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{9 x - 1}{1}$

ステップ 4.4.4.4

$9 x - 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - 1$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

ステップ 5.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

ステップ 5.3

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

ステップ 6

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (9 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$9$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1)$

ステップ 7.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 7.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 2}{2}$

ステップ 7.5.2

$9$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

ステップ 7.6

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{7}{2}$ をかけます。

$\frac{7}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7}{4}$

10進法形式：

$1.75$

微分積分 例

微分積分例