微分積分例

$lim_{t \to 1} \frac{t^{3} - 1}{3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 1} t^{3} - 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 1} t^{3} - lim_{t \to 1} 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $t^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{3} - lim_{t \to 1} 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$t$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - 4 t + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 3 t^{2} - lim_{t \to 1} 4 t + lim_{t \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.2

$3$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{t \to 1} t^{2} - lim_{t \to 1} 4 t + lim_{t \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{t \to 1} t)}^{2} - lim_{t \to 1} 4 t + lim_{t \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.4

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{t \to 1} t)}^{2} - 4 lim_{t \to 1} t + lim_{t \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.5

$t$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 {(lim_{t \to 1} t)}^{2} - 4 lim_{t \to 1} t + 1}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $t$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 4 lim_{t \to 1} t + 1}$

ステップ 1.1.3.6.2

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 4 \cdot 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 4 + 1}$

ステップ 1.1.3.7.2

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 1} \frac{t^{3} - 1}{3 t^{2} - 4 t + 1} = lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 1]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 1]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $t^{3} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2} + 0}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3.5

$3 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 4 t + 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $3 t^{2} - 4 t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d t} [- 4 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 4 t$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t - 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.8.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t - 4 + \frac{d}{d t} [1]}$

ステップ 1.3.9

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t - 4 + 0}$

ステップ 1.3.10

$6 t - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 1} \frac{3 t^{2}}{6 t - 4}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{t \to 1} \frac{t^{2}}{6 t - 4}$

ステップ 2.2

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{t \to 1} t^{2}}{lim_{t \to 1} 6 t - 4}$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2}}{lim_{t \to 1} 6 t - 4}$

ステップ 2.4

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2}}{lim_{t \to 1} 6 t - lim_{t \to 1} 4}$

ステップ 2.5

$6$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2}}{6 lim_{t \to 1} t - lim_{t \to 1} 4}$

ステップ 2.6

$t$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$3 \frac{{(lim_{t \to 1} t)}^{2}}{6 lim_{t \to 1} t - 1 \cdot 4}$

ステップ 3

すべての $t$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1^{2}}{6 lim_{t \to 1} t - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.2

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$3 \frac{1^{2}}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \frac{1}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$6$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{1}{6 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$3 \frac{1}{6 - 4}$

ステップ 4.2.3

$6$ から $4$ を引きます。

$3 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{2}$

10進法形式：

$1.5$

微分積分 例

微分積分例