微分積分例

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ を $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

ステップ 1.2

$\cot (4 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ を展開します。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

ステップ 3

値を変数に代入して極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $(\frac{π}{4})$ に代入し、 $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ の極限値を求めます。

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.2

$4$ に行列の各要素を掛けます。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.4

正弦と余弦に関して $\cot ((π))$ を書き換えます。

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.5

括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.5.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.6

括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.7.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.8.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 3.9

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

ステップ 5

値を変数に代入して極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $(\frac{π}{4})$ に代入し、 $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ の極限値を求めます。

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.2

$4$ に行列の各要素を掛けます。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.4

正弦と余弦に関して $\cot ((π))$ を書き換えます。

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.5

括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.5.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.6

括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.6.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.7.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.8.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

ステップ 5.9

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 6

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例