微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.3

$\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cos (2 x) \cot (x)$ に変換します。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

ステップ 2

$x$ が $\frac{1}{2} \cdot π$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

ステップ 3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

ステップ 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

ステップ 6

すべての $x$ に $\frac{1}{2} \cdot π$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $\frac{1}{2} \cdot π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

ステップ 6.3

$x$ を $\frac{1}{2} \cdot π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7.1.2

式を書き換えます。

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

ステップ 7.5

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 1 \cdot 0$

ステップ 7.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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