微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cot (2 x)}{\csc (x)}$

ステップ 1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (x)}$

ステップ 2

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

ステップ 2.5.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を $\cot (2 x)$ に変換します。

$3 lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (x)$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cot (2 x) \sin (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ - 0.1 & 0.4924937 \\ - 0.01 & 0.49992499 \\ - 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cot (2 x) \sin (x)$ の極限は $0.5$ です。

$0.5$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cot (2 x) \sin (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ 0.1 & 0.4924937 \\ 0.01 & 0.49992499 \\ 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cot (2 x) \sin (x)$ の極限は $0.5$ です。

$3 \cdot 0.5$

ステップ 9

$3$ に $0.5$ をかけます。

$1.5$

微分積分 例

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