微分積分例

$y = 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} + 1$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + 1$ で置き換えます。

$4 (5 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ に $4$ をかけます。

$20 ({(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $20$ をまとめます。

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$

ステップ 10.3

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ をまとめます。

$\frac{20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

$2$ を $20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分子を簡約します。

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ステップ 12.1.1

二項定理を利用します。

$\frac{10 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{1} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.5

簡約します。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1 + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.7

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.9

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{10 x^{2} + 10 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4

簡約します。

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ステップ 12.1.4.1

$4$ に $10$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4.2

$6$ に $10$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4.3

$4$ に $10$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4.4

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

項を並べ替えます。

$\frac{10 x^{2} + 60 x + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例