微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 2^{3}}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 2$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt[3]{x^{6}} = x^{2} = - \sqrt{x^{4}}$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 3.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 3.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 4

$- \infty$ が $\frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$ の定義域にないので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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