微分積分例

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 1

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.3

群による因数分解。

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ステップ 2.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$7$ を $7 y$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

ステップ 2.3.1.2

$7$ を $1$ プラス $6$ に書き換える

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

ステップ 2.3.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

ステップ 2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

ステップ 2.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

ステップ 2.3.3

最大公約数 $2 y + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

ステップ 2.4

今日数因数で約分することで式 $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

ステップ 2.5

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ を $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

ステップ 2.6

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ に $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

ステップ 2.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.7.1

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ に $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

ステップ 2.7.2

$\sqrt{2 y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

ステップ 2.7.3

$\sqrt{2 y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

ステップ 2.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

ステップ 2.7.6

${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ を $2 y + 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 y + 1}$ を ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

ステップ 2.7.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

ステップ 2.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$

微分積分 例

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