微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

ステップ 1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} 3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

ステップ 5

項をまとめます。

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ステップ 5.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}}{x}$

ステップ 5.2

$- 1$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}}{x}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}}{x}$

ステップ 6

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 6.1

${(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}}{x}$

ステップ 6.2

$\frac{1 - x}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})$ を展開します。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.6

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + 1)}}{x}$

ステップ 7.7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

ステップ 7.8

指数に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} 3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

ステップ 7.9

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

ステップ 7.10

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

ステップ 8

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

ステップ 8.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

ステップ 8.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

ステップ 8.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}}{x}$

ステップ 9

指数を足して $e^{3 \cdot 8}$ に $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ を移動させます。

$\frac{3 (e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)} e^{3 \cdot 8})}{x}$

ステップ 9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.3

$1$ から $8$ を引きます。

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.4

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.5

各項を簡約します。

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ステップ 9.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 e^{- \frac{7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.5.2

$- \frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ を掛けます。

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ステップ 9.5.2.1

$\ln (e^{24} + 1)$ と $\frac{7}{8}$ を並べ替えます。

$\frac{3 e^{- (\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.5.2.2

対数の中の $\frac{7}{8}$ を移動させて $\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ を簡約します。

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 3 \cdot 8}}{x}$

ステップ 9.5.3

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 24}}{x}$

微分積分 例

微分積分例