微分積分例

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 x^{2}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + lim_{x \to π} 3 x^{2}$

ステップ 1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 lim_{x \to π} x^{2}$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 {(lim_{x \to π} x)}^{2}$

ステップ 2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 π^{2}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $π$ に近づくときの関数 ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.04159265 & - 0.00839071 \\ 3.13159265 & 0.00008623 \\ 3.14059265 & - 0.00000011 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $π$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $π$ に近づくときの ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ の極限は $0$ です。

$0$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $π$ に近づくときの関数 ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.24159265 & - 0.00839071 \\ 3.15159265 & 0.00008623 \\ 3.14259265 & - 0.00000092 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $π$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $π$ に近づくときの ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ の極限は $0$ です。

$0 + 3 π^{2}$

ステップ 9

$0$ と $3 π^{2}$ をたし算します。

$3 π^{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3 π^{2}$

10進法形式：

$29.60881320 \dots$

微分積分 例

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