微分積分例

$\frac{lim_{x \to a} (x^{2} - (a + 1) x) + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 1

$x$ が $a$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to a} x^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 3

$a + 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 4

$x$ が $a$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $a$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $a$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{a^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 5.2

$x$ を $a$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{a^{2} - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$a$ を $a^{2} - (a + 1) a + a$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

$a$ を $a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{a \cdot a - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.1.2

$a$ を $- (a + 1) a$ で因数分解します。

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.1.3

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a^{1}}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.1.4

$a$ を $a^{1}$ で因数分解します。

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.1.5

$a$ を $a \cdot a + a (- (a + 1))$ で因数分解します。

$\frac{a (a - (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.1.6

$a$ を $a (a - (a + 1)) + a \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{a (a - (a + 1) + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{a (a - a - 1 \cdot 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{a (a - a - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.4

$a$ から $a$ を引きます。

$\frac{a (0 - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.5

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{a (- 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.1.6

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a \cdot 0}{x^{3} - a^{3}}$

ステップ 6.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = a$ です。

$\frac{a \cdot 0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

ステップ 6.3

$a$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

ステップ 6.4

$0$ を $(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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