微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 1.2

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{11}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1}}$

ステップ 3.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1^{2}}}$

ステップ 3.2.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.4

多項式を書き換えます。

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 1 + 1^{2}}}$

ステップ 3.2.1.5

$a = 4 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x + 1)}^{2}}}$

ステップ 3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{11}{4 x + 1}$

微分積分 例