微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 4.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 4.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 4.1.3

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

ステップ 4.2.1.2

$x^{2}$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

ステップ 4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

ステップ 4.3

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ をかけます。

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ をかけます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{x + 2}$ を移動させます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{x + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

ステップ 4.4.4

$\sqrt{x + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

ステップ 4.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

ステップ 4.4.7

${\sqrt{x + 2}}^{2}$ を $x + 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

ステップ 4.4.7.5

簡約します。

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

ステップ 4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

ステップ 4.6

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$

微分積分 例

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