微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 5

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 7

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 7.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 7.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{8 - \sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8.1.2

$9$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - \sqrt{64 + 72 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8.1.3

$64$ と $72$ をたし算します。

$\frac{8 - \sqrt{136 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8.1.4

$136$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8.2

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ に $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ をかけます。

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}} \cdot \frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

ステップ 8.3

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ に $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ をかけます。

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{(x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}$

ステップ 8.4

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{x^{4} + x^{2} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} x^{2} - {\sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}^{2}}$

ステップ 8.5

簡約します。

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.6

分配法則（FOIL法）を使って $(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.8

$8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 3 x^{2} - 5}$

ステップ 8.9

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 5}$

ステップ 8.10

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 1 (5)}$

ステップ 8.11

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2} + 5)}$

ステップ 8.12

$- (3 x^{2} + 5)$ を $- 1 (3 x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 1 (3 x^{2} + 5)}$

ステップ 8.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{3 x^{2} + 5}$

微分積分 例

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