微分積分例

$lim_{n \to 8} (\frac{n}{2 π}) \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

ステップ 1

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{n \to 8} \frac{n}{2 π} \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

ステップ 2

$\frac{1}{2 π}$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

ステップ 3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{2 π}{n}) = 1$

ステップ 4

$2 π$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π lim_{n \to 8} \frac{1}{n}) = 1$

ステップ 5

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

ステップ 6

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

ステップ 7

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 7.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

ステップ 7.2

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (π)} \cdot (2 (4)) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 π} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.2

$\frac{1}{π}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{8}) = 1$

ステップ 8.3.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{2 (4)}) = 1$

ステップ 8.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{2 \cdot 4}) = 1$

ステップ 8.3.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (π \frac{1}{4}) = 1$

ステップ 8.4

$π$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (\frac{π}{4}) = 1$

ステップ 8.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

ステップ 8.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

ステップ 8.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

ステップ 8.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{π} \cdot \sqrt{2} = 1$

ステップ 8.7

$\frac{2}{π}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{π} = 1$

微分積分 例

微分積分例