微分積分例

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ を $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ に書き換えます。

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{2 n + 1}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ を展開します。

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.2

$n$ が $1000000$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.3

$n$ が $1000000$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.4

$n$ が $1000000$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.5

$n$ が $1000000$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.7

$n$ が $1000000$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

ステップ 2.8

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

ステップ 2.9

$n$ が $1000000$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

ステップ 2.10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $n^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

ステップ 3

すべての $n$ に $1000000$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n$ を $1000000$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

ステップ 3.2

$n$ を $1000000$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

ステップ 3.3

$n$ を $1000000$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $1000000$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

ステップ 4.1.2

$2000000$ と $1$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

ステップ 4.2

$1000000$ を $2$ 乗します。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

ステップ 4.3

$1000000000000$ と $1000000$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2000001}$ と $\ln (1000001000000)$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

10進法形式：

$1.00001381 \dots$

微分積分 例

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