微分積分例

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(k + 1)}^{k + 1}$ と $k + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$k + 1$ を ${(k + 1)}^{k + 1}$ で因数分解します。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$k + 1$ を $(k + 1) i$ で因数分解します。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1.2

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{i}$ の項は $k$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(k + 1)}^{k}$ を $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 2.2

$k$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(k + 1)}^{k})$ を展開します。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3.2

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3.4

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3.5

$k$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

ステップ 3.6

$i$ の項は $k$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

ステップ 3.7

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

ステップ 4

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$k^{k}$ を $e^{\ln (k^{k})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

ステップ 4.2

$k$ を対数の外に移動させて、 $\ln (k^{k})$ を展開します。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

ステップ 5.2

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

ステップ 5.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

ステップ 6

すべての $k$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1