微分積分例

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

ステップ 1

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

ステップ 2

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

ステップ 3

項をまとめます。

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ステップ 3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

ステップ 4

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.1

${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ を $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

ステップ 4.2

$n$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ を展開します。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

ステップ 5.2

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

ステップ 5.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

ステップ 5.4

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

ステップ 5.5

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

ステップ 5.6

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

ステップ 6

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

ステップ 6.2

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

ステップ 6.3

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ を簡約します。

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

ステップ 7.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

ステップ 7.2.3

積の法則を $\frac{9}{8}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

ステップ 7.2.4

$9$ を $8$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

ステップ 7.2.5

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

ステップ 7.4

$\frac{16777216}{43046721}$ に $1$ をかけます。

$\frac{16777216}{43046721}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{16777216}{43046721}$

10進法形式：

$0.38974434 \dots$

微分積分 例

微分積分例