微分積分例

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 1

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 2

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 4

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 5

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

ステップ 7

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 9

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 10

$n$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 11

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

ステップ 12

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

ステップ 13

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

ステップ 14

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

ステップ 14.2

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

ステップ 14.3

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

ステップ 14.4

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.2

分母を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$8$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

ステップ 15.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

ステップ 15.2.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

ステップ 15.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

ステップ 15.2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

ステップ 15.3

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ に $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ をかけます。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

ステップ 15.4

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ に $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ をかけます。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

ステップ 15.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

ステップ 15.6

簡約します。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

ステップ 15.7

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ を $1$ で割ります。

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

ステップ 15.8

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ を展開します。

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ステップ 15.8.1

分配則を当てはめます。

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

ステップ 15.8.2

分配則を当てはめます。

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

ステップ 15.8.3

分配則を当てはめます。

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.9.1

$3$ に $3$ をかけます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.2

$- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.9.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.2.2

$10$ に $2$ をかけます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.3

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 15.9.3.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.4

累乗根の下から項を取り出します。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

ステップ 15.9.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

10進法形式：

$1.05727969 \dots$

微分積分 例

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