微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

ステップ 1

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$6 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

ステップ 2.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

ステップ 2.1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$6 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$6 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 + 3 e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + 3 e^{x}$ とします。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

ステップ 2.3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 + 3 e^{x}$ で置き換えます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

ステップ 2.3.4

総和則では、 $2 + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

ステップ 2.3.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ をたし算します。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

ステップ 2.3.7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \cdot 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.3.8

$3$ と $\frac{1}{2 + 3 e^{x}}$ をまとめます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.3.9

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} e^{x}}$

ステップ 2.3.10

$\frac{3}{2 + 3 e^{x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{2 + 3 e^{x}}}$

ステップ 2.3.11

項を並べ替えます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{3 e^{x} + 2}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$6 lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

ステップ 2.5

$\frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$ に $1$ をかけます。

$6 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.2.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 4.1.2.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.2.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.2.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 4.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $3 e^{x} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.5

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 4.3.6

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.4.2

$3$ を $1$ で割ります。

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} 3$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$6 (\frac{1}{3}) \cdot 3$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 5.2.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 3$

ステップ 5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6$

微分積分 例

微分積分例