微分積分例

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

ステップ 1.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

ステップ 1.1.3

$n$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{n}$ を $n^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 1.3.7

公分母の分子をまとめます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 1.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

ステップ 1.3.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

ステップ 1.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

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ステップ 1.3.10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.10.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.5

$n^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{n}$ に書き換えます。

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

ステップ 1.6

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

ステップ 2

関数 $\sqrt{n}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

ステップ 2.2

$n$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\infty$

微分積分 例

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