微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 1.3

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{8} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{8}$ を ${(e^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1^{2}}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{4}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{4} - 1)}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

$e^{4}$ を ${(e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1)}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2})}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1))}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.4.4

簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2}))}{e^{x} + 1}$

ステップ 3.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{e^{x} + 1}$

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{x} + 1}$

微分積分 例

微分積分例