微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $8$ を $x^{8}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 5.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.1.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 32}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.1.3

$16777216$ から $32$ を引きます。

$\frac{\sqrt[4]{16777184}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.1.4

$16777184$ を $2^{4} \cdot 1048574$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$16$ を $16777184$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt[4]{16 (1048574)}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.1.4.2

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{2^{4} \cdot 1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.2

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ に $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}} \cdot \frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$

ステップ 6.3

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ に $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{(2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}) (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}$

ステップ 6.4

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{4 x^{4} + 2 x^{2} \sqrt{x^{4} - 2} - 2 \sqrt{x^{4} - 2} x^{2} - {\sqrt{x^{4} - 2}}^{2}}$

ステップ 6.5

簡約します。

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{3 x^{4} + 2}$

微分積分 例

微分積分例