微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$16$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{2}{3}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.3

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.1.5

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.2.2

$x^{\frac{4}{3}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 3.3

$2$ を $6$ 乗します。

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

微分積分 例

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