微分積分例

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $\sqrt{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3

$\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt{x} \sqrt{2}$ と $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt{2} \sqrt{x}$ から $\sqrt{2} \sqrt{x}$ を引きます。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.3

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.2.5

簡約します。

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.3

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 3.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

ステップ 3.4.4.5

指数を求めます。

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

ステップ 3.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{x - 2}$

ステップ 3.5

$0$ を $x - 2$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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