微分積分例

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 4

$15$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 6

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 6.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.1.2

$2$ に $25$ をかけます。

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.1.3

$15$ に $5$ をかけます。

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.1.4

$50$ と $75$ をたし算します。

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.1.5

$125$ と $25$ をたし算します。

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$5$ を $9$ プラス $- 4$ に書き換える

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

ステップ 7.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

ステップ 7.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

ステップ 7.2.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

ステップ 7.2.2.4

$a = 2$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 7.2.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 7.2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = 2 + x$ です。

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

ステップ 7.2.5

簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

ステップ 7.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

ステップ 7.2.5.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

ステップ 7.2.5.4

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例