微分積分例

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 6

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 6.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ と $2 x^{2} - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $3 \cdot 2^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $- 4 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を $- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.4

$- 1$ を $- 1 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.5

$- 1$ を $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.6

$- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ を $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.7

$2$ を $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 7.1.8

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.8.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2}) - 8}$

ステップ 7.1.8.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

ステップ 7.1.8.3

$2$ を $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

ステップ 7.1.8.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

ステップ 7.1.8.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 1 (- 6 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

ステップ 7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 1 (- 6 + 4 + 2)}{x^{2} - 4}$

ステップ 7.2.3

$- 6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

ステップ 7.2.4

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 4}$

ステップ 7.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 7.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{- 1 \cdot 0}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 7.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 7.5

$0$ を $(x + 2) (x - 2)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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