微分積分例

$\frac{lim_{x \to 2} (\frac{1}{x}) - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 1.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 1.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{2 (x^{3} - 8)}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 8$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 8}$

ステップ 3.5.1.2

$2$ を $2 \cdot - 8$ で因数分解します。

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 (- 8)}$

ステップ 3.5.1.3

$2$ を $2 (x^{3}) + 2 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{0}{2 (x^{3} - 8)}$

ステップ 3.5.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{0}{2 (x^{3} - 2^{3})}$

ステップ 3.5.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}$

ステップ 3.5.4

簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2}))}$

ステップ 3.5.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

$\frac{0}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 3.6

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (0)}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$2$ を $2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (0)}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 3.7

$0$ を $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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