微分積分例

$\frac{lim_{x \to 3} (x^{2} + 2 x - 15) \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15 \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{(lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 5

$x$ が $3$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 7

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 8

$x$ が $3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 9

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 10

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 10.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 10.3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

$\tan (2 x - 6)$ を $\tan^{2} (2 x - 6)$ で因数分解します。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6) \tan (2 x - 6)}$

ステップ 11.2

分数を分解します。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6)}$

ステップ 11.3

正弦と余弦に関して $\tan (2 x - 6)$ を書き換えます。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}}$

ステップ 11.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}$ で割ります。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

ステップ 11.5

$\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

ステップ 11.6

簡約します。

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ステップ 11.6.1

$\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ を $1$ で割ります。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

ステップ 11.6.2

$\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ と $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ をまとめます。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.7

分子を簡約します。

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ステップ 11.7.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.7.3

$- 1$ に $15$ をかけます。

$\frac{9 + 6 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.7.4

$9$ と $6$ をたし算します。

$\frac{15 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.7.5

$15$ から $15$ を引きます。

$\frac{0}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.8

正弦と余弦に関して $\tan (2 x - 6)$ を書き換えます。

$\frac{0}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$0 \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)} \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.10

$0$ に $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ をかけます。

$0 \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.11

分子を簡約します。

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ステップ 11.11.1

$- 1 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 11.11.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 \frac{\sin (9 - 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.11.1.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$0 \frac{\sin (9 - 9) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.11.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0 \frac{\sin (0) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.11.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \frac{0 \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.12

$0$ に $\cos (2 x - 6)$ をかけます。

$0 \frac{0}{\sin (2 x - 6)}$

ステップ 11.13

$0$ を $\sin (2 x - 6)$ で割ります。

$0 \cdot 0$

ステップ 11.14

$0$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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