微分積分例

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

ステップ 1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

ステップ 3.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

対数の中の $1$ を移動させて $1 \cdot \ln (1)$ を簡約します。

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 5.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 5.1.3

指数を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

ステップ 5.1.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{\ln (x)}$

ステップ 5.2

$0$ を $\ln (x)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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