微分積分例

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(1 - \cos (x))}^{x}$ を $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

ステップ 3

$x \ln (1 - \cos (x))$ を $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 4

極限を左側極限として設定します。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 5

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.1.2

$x$ が $0$ に左から近づくとき、 $\ln (1 - \cos (x))$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.1.3

$x$ が $0$ に左から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は負の無限大に近づきます。

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

ステップ 5.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

ステップ 5.1.2

$\frac{- \infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 5.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - \cos (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - \cos (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.3

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.1.3.11

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 5.1.3.12

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 5.1.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 5.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.1.6

$- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ の因数を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.2.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

ステップ 5.3.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

ステップ 5.3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

ステップ 5.3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

ステップ 5.3.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

ステップ 5.3.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 5.3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 5.3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 5.3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 5.3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 5.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.5

項を並べ替えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.6

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.8

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3.8.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

ステップ 5.3.3.8.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

ステップ 5.3.3.8.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

ステップ 5.3.3.9

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 5.4

$\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ と $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$e^{- 0}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 6

極限を右側極限として設定します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 7

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.1.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (1 - \cos (x))$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.1.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 7.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 7.1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 7.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - \cos (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - \cos (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.3

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 7.1.3.11

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 7.1.3.12

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 7.1.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 7.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 7.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.1.6

$- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ の因数を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 7.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 7.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 7.3.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1.2.5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.2.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 7.3.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 7.3.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 7.3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

ステップ 7.3.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

ステップ 7.3.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

ステップ 7.3.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 7.3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 7.3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 7.3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 7.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 7.3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.2

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.5

項を並べ替えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.6

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.8

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 7.3.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

ステップ 7.3.3.8.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

ステップ 7.3.3.8.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

ステップ 7.3.3.8.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

ステップ 7.3.3.9

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 7.4

$\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ と $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$e^{- 0}$

ステップ 7.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

微分積分例