微分積分例

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

ステップ 2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \csc (x)$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \csc (x)$ の極限は $1$ です。

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{x \csc (x)}$

ステップ 9.2

分数を分解します。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

ステップ 9.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 9.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

ステップ 9.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x} \sin (x)$

ステップ 9.6

$\frac{2}{x}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{x}$

微分積分 例