微分積分例

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 6

すべての $x$ に $\frac{1}{3}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $\frac{1}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 6.2

$x$ を $\frac{1}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$3$ を $3^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.4

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.7

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.11

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.11.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.1.12

$0$ を $3$ で割ります。

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

ステップ 7.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 7.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

ステップ 7.3

$0$ を $(3 x + 1) (3 x - 1)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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