微分積分例

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.4

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.4

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.1.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{0}{6 x^{2} - 5 (x) + 1}$

ステップ 3.2.1.2

$- 5$ を $- 2$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{0}{6 x^{2} + (- 2 - 3) x + 1}$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{0}{6 x^{2} - 2 x - 3 x + 1}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{0}{(6 x^{2} - 2 x) - 3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{0}{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}$

ステップ 3.2.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{0}{(3 x - 1) (2 x - 1)}$

ステップ 3.3

$0$ を $(3 x - 1) (2 x - 1)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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