微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$ を $e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$

ステップ 1.2

$\cot (3 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})$ を展開します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

ステップ 3

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$ の極限値を求めます。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \sec (3 \frac{π}{2}))}$

ステップ 3.2

正弦と余弦に関して $\sec (3 \frac{π}{2})$ を書き換えます。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (3 \frac{π}{2})})}$

ステップ 3.3

$3$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{3 π}{2})})}$

ステップ 3.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{π}{2})})}$

ステップ 3.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$

ステップ 3.6

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

ステップ 5

右側極限を求めます。

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ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

ステップ 5.2

$\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))$ を $\frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}}$

ステップ 5.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \ln (1 + \sec (3 x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

ステップ 5.3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

ステップ 5.3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.3.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 5.3.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (3 x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}}}$

ステップ 5.3.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ で割ります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}}$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ を $\tan (3 x)$ に変換します。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (3 x)}}$

ステップ 5.3.1.3.2

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく減少します。

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

ステップ 5.3.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

ステップ 5.3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

ステップ 5.3.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}$

ステップ 5.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + \sec (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + \sec (3 x)$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + \sec (3 x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.3

総和則では、 $1 + \sec (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.6

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.6.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.7

$\sec (3 x)$ と $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.8

$\tan (3 x)$ と $\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.10

$3$ と $\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.12

$\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.13.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (3 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.2

$3$ と $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (3 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.13.1.4.1

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ に $\frac{1}{\cos (3 x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4.2

$\cos (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4.3

$\cos (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.2

項をまとめます。

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ステップ 5.3.3.13.2.1

$\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}$ を積として書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{1}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.13.2.2

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$ に $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.14

正弦と余弦に関して $\cot (3 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]}}$

ステップ 5.3.3.15

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.16

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.17.1

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.17.2

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

ステップ 5.3.3.18

$f (x) = \sin (3 x)$ および $g (x) = \cos (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.19

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.19.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.19.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.19.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.20

$\cos (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.21

$\cos (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.24

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.25

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.26

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.27

$3$ を $\cos^{2} (3 x)$ の左に移動させます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.28

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.28.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.28.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.28.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.29

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 1 \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.30

$\sin (3 x)$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.31

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.32

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.33

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.34

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.35

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.36

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.37

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.38

$3$ を $\sin^{2} (3 x)$ の左に移動させます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 3 \cdot \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.39.1

$3$ を $3 \cos^{2} (3 x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39.2

$3$ を $3 \sin^{2} (3 x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39.3

$3$ を $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39.4

項を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.3.39.6

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))} \cdot \frac{\cos^{2} (3 x)}{3}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}$ に $\frac{\cos^{2} (3 x)}{3}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

ステップ 5.3.6

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

ステップ 5.3.6.1.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

ステップ 5.3.6.2

$\cos^{2} (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

ステップ 5.3.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

ステップ 5.3.7

正弦と余弦に関して $\sec (3 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \frac{1}{\cos (3 x)}}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ を $\sec (3 x)$ に変換します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

ステップ 5.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ は $0$ に近づきます。

$e^{0}$

ステップ 5.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 6

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例